ECC（椭圆曲线密码学）

ECC
Elliptic Curve Cryptography

提出者

Neal Koblitz, Victor Miller (1985)

类别

非对称公钥密码

数学基础

椭圆曲线离散对数难题 (ECDLP)

密钥长度

256-521 bit

安全状态

安全

椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是基于椭圆曲线上离散对数问题（ECDLP）计算困难性的公钥密码体系。1985年由 Neal Koblitz 和 Victor Miller 独立提出。ECC 的核心优势在于：更短的密钥即可达到与 RSA 相当甚至更高的安全强度。

椭圆曲线数学

密码学中使用的椭圆曲线定义在有限域上，标准形式为：

素数域 Fp 上的曲线:  y² = x³ + ax + b (mod p)

核心运算:
    点加法:  P + Q = R
    倍点:    P + P = 2P
    标量乘法: k × P = P + P + ... + P  (k 次)

椭圆曲线离散对数问题 (ECDLP):
    已知 P 和 Q = k×P，求 k

目前没有已知的多项式时间算法解决 ECDLP
→ 这就是 ECC 安全性的基础

关键算法

算法	功能	曲线	标准/场景
ECDSA	数字签名	P-256, P-384, P-521	Bitcoin, TLS, FIPS 186-4
ECDH	密钥交换	P-256, P-384	TLS ECDHE 密码套件
Ed25519	签名	Curve25519 (EdDSA)	SSH, GPG, Signal
X25519	密钥交换	Curve25519	TLS 1.3, WireGuard
Ed448	签名	Curve448	RFC 8032
X448	密钥交换	Curve448	RFC 7748

Curve25519

Curve25519 是 Daniel J. Bernstein 设计的 Montgomery 曲线，常量 y² = x³ + 486662x² + x（mod 2²⁵⁵ - 19）。其优点：

常数时间实现，天然抗侧信道攻击
不存在弱点（曲线参数经过" rien-ne-vait-de-soi "选择）
每个坐标仅 256 位，紧凑高效
TLS 1.3 将 X25519 列为必选密钥交换

安全强度对比

对称密钥	ECC 密钥	RSA 密钥
80 bit	160 bit	1024 bit
112 bit	224 bit	2048 bit
128 bit	256 bit	3072 bit
192 bit	384 bit	7680 bit
256 bit	521 bit	15360 bit

256 位 ECC 密钥 ≈ 3072 位 RSA 的安全强度，但密钥短 12 倍。

参考文献

Koblitz, N. (1987). "Elliptic curve cryptosystems". Mathematics of Computation 48(177): 203-209.
Bernstein, D.J. (2006). "Curve25519: new Diffie-Hellman speed records". PKC 2006.
NIST (2013). "Digital Signature Standard (DSS)". FIPS PUB 186-4.

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